☛ * Plan médiateur d'un segment

Énoncé
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) , on donne les points  \(\text A(0~;~1~;~2)\) et  \(\text B(2~;-1~;~0)\) . Déterminer une équation du plan médiateur du segment  \(\mathrm{[AB]}\) .

Solution

Première méthode : avec les distances

Soit \(P\) le plan médiateur du segment \(\mathrm{[AB]}\) .
Dire que \(\text M(x~;~y~;~z)\in P\) signifie que \(\mathrm{AM=BM}\)  soit \(\mathrm{AM^2=BM^2}\)  soit : \(x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+z^2\) .
En développant, on obtient :  \(x^2+y^2-2y+1+z^2-4z+4=x^2-4x+4+y^2+2y+1+z^2\) .
En simplifiant, on a :  \(4x-4y-4z=0\) , soit encore  \(x-y-z=0\) .

Deuxième méthode : avec un vecteur normal et le milieu du segment

\(\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} 2\\-2\\-2\\ \end{pmatrix}\)  est un vecteur normal au plan médiateur.
Le vecteur \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\ \end{pmatrix}\) est aussi un vecteur normal au plan médiateur.
Alors une équation cartésienne de ce plan est de la forme  \(x-y-z+d=0\) .
Le milieu \(\text I\) du segment \(\mathrm{[AB]}\) appartient au plan médiateur et a pour coordonnées  \(\text I(1~;~0~;~1)\) .
D'où  \(1-0-1+d=0\Leftrightarrow d=0\) .
Donc une équation cartésienne du plan médiateur est  \(x-y-z=0\) .